Formler, linjer og punkter

Linjens ligning
$y=a \times x +b$

To punkter til linje
$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$b=y_1-a \times x_1$

Punkt og hældning til linje
$y-y_0=a \times (x-x_0)$
a=tan(v)

v: Vinkel med x-aksen

Skæringspunkt mellem linjer
$y=a \times x +b$
$y=c \times x +d$
$x=\frac{d-b}{a-c}$
$y=a \times \frac{d-b}{a-c}+b$

Linjer, vinkelrette
$-1=a \times c$

Afstand, punkt til linje
$dist(P,l)=\frac{|a \times x_1 + b - y_1 |}{ \sqrt{a^2+1} }$

Afstand mellem to punkter
$|AB|=\sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$

Midtpunkt af linjestykke
$(x_m, y_m)=\left( \frac{x1+x2}{2}, \frac{y1+y2}{2} \right)$

Linjer og punkter

Linjens ligning

En linje kan beskrives ud fra ligningen:
$y=a \times x +b$
a indikerer linjens hældning, og hvis a er 0, er linjen vandret.
b indikerer skæringen med y-aksen.

Linjens ligning ud fra to koordinater

Man kan finde linjens ligning ud fra to koordinater (x₁,y₁) og (x₂, y₂).
Disse to punkter giver følgende formel for a og b i linjens ligning:
$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$b=y_1-a \times x_1$

Disse kan så indsættes i linjens ligning:
$y=a \times x +b$

Linjens ligning ud fra to punkter

Indtast koordinaterne:

Linjens ligning ud fra et punkt og en hældning

En ret linje med hældningen a, som går igennem punktet (x₀, y₀) har linjens ligning (også kaldet formlen for linjens ligning):
$y-y_0=a \times (x-x_0)$
Hvis man istedet for a har en vinkel med x-aksen, kan denne beregnes med:
a=tan(v)

hvor v er vinklen.

Skæringspunkt mellem 2 linjer

Den nemmeste måde at finde skæringspunktet på, er at løse de to linjers ligninger, som er to ligninger med to ubekendte.
Der findes også en formel:
$y=a \times x + b$
$y=c \times x + d$
Skæringspunktet er da i:
$(x,y)=\left(\frac{d-b}{a-c}, a \times \frac{d-b}{a-c}+b \right)$

Skæringspunkt mellem 2 linjer

Indtast linjernes værdier:

Undersøg om to linjer er vinkelrette

To linjer er vinkelrette, hvis de to hældninger ganget sammen giver -1:
$a \times c=-1$

Afstand fra punkt til linje

Afstanden fra punktet P(x₁,y₁) til linjen l med ligningen y=ax+b kan beregnes med dist-formlen.
$dist(P,l)=\frac{|a \times x_1 + b - y_1 |}{ \sqrt{a^2+1} }$

Afstand fra punkt til linje

Indtast linje og punkt:

Afstand mellem to punkter

Afstanden mellen to punkter A(x₁, y₁) og B(x₂, y₂) kan findes med formlen:
$|AB|=\sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$
Hvilket er en omskrivning af Pythagoras's læresætning.

Midtpunkt af linjestykke

Midtpunktet af et linjestykke mellem punkterne A(x₁, y₁) og B(x₂, y₂) kan findes med formlen:
$(x_m, y_m)=\left( \frac{x1+x2}{2}, \frac{y1+y2}{2} \right)$

x₁:
y₁:
x₂:
y₂:

Linje 1:	a:	b:	y=ax+b
Linje 2:	c:	d:	y=cx+d

Linje l:	a:	b:	y=ax+b
Punkt P:	x₁:	y₁: