Linjer og punkter

Træk i de røde firkanter på tegningen, og se hvordan forholdene for linjen ændrer sig.

Linjens ligning

En linje kan beskrives ud fra ligningen:

$y=a \times x +b$

a indikerer linjens hældning, og hvis a er 0, er linjen vandret.

b indikerer skæringen med y-aksen.

Linjens ligning ud fra to punkter

Linjens ligning ud fra to koordinater

Man kan finde linjens ligning ud fra to koordinater:

(x₁,y₁) og (x₂, y₂).

Disse to punkter giver følgende formel for a og b i linjens ligning:

$a=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$b=y_1-a \times x_1$

Disse kan så indsættes i linjens ligning:

$y=a \times x +b$

Træk i de røde firkanter på tegningen, og se hvordan forholdene for linjen ændrer sig.

Linjens ligning ud fra to punkter

Linjens ligning ud fra et punkt og en hældning

En ret linje med hældningen a, som går igennem punktet (x₀, y₀) har linjens ligning (også kaldet formlen for linjens ligning):

$y-y_0=a \times (x-x_0)$

Hvis man i stedet for a har en vinkel med x-aksen, kan denne beregnes med:

a=tan(v)

(Hvor v er vinklen.)

Skæringspunkt mellem 2 linjer

Man finder nemmest skæringspunktet ved at løse de to linjers ligninger, som er to ligninger med to ubekendte.

Der findes også en formel:

$y=a \times x + b$

$y=c \times x + d$

Skæringspunktet er da i:

$(x,y)=(frac{d-b}{a-c},a*frac{d-b}{a-c}+b)$

Skæringspunkt mellem 2 linjer

Undersøg om to linjer er vinkelrette

To linjer er vinkelrette, hvis de to hældninger ganget sammen giver -1:

$a \times c=-1$

Afstand fra punkt til linje

Afstanden fra punktet P(x₁,y₁) til linjen l med ligningen y=ax+b kan beregnes med "dist-formlen".

$dist(P,l)=frac{|a*x_1+b-y_1|}{sqrt{a^2+1}}$

Afstand fra punkt til linje

Afstand mellem to punkter

Afstanden mellem to punkter A(x₁, y₁) og B(x₂, y₂) kan findes med formlen:

$|AB|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

(Hvilket i øvrigt er en omskrivning af Pythagoras læresætning.)