Potensfunktion

En potensfunktion har denne form:

$f(x)=b \times x^a$

Hvor definitionsmængden (de lovlige værdier af x) alle er positive reelle tal.
(Tal som kan skrives som enten en endelig decimalbrøk eller uendelig decimalbrøk).

Dm(f)=R_+

Et eksempel på en potensfunktion kan f.eks. være svingningstiden for et pendul, hvor pendullængden er den ubekendte.

Betydning af a i en potensfunktion

0 < a < 1: Potensfunktionen er voksende med aftagende hældning.

a > 1: Potensfunktionen er voksende med stigende hældning.

a < 0: Potensfunktionen er aftagende.

a = 1: Det er en proportional og lineær funktion.

a = 2: Det er en parabel.

Hvis man har to punkter (x₁,y₁) og (x₂,y₂), kan man finde a med formlen:

$a=frac{log(y_2)-log(y_1)}{log(x_2)-log(x_1)}$

b i en potensfunktion

Funktionen går igennem punktet (1,b)

Hvis man har et punkt (x₁,y₁) på grafen og a, kan man finde b med formlen:

$b=frac{y_1}{{x^a}_1}$

Topunktsformel

Hvis en potenskurve går igennem to punkter med koordinaterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂), kan a
beregnes med formlen:

$a=frac{log(frac{y_2}{y_1})}{log(frac{x_2}{x_1})}=frac{log(y_2)-log(y_1)}{log(x_2)-log(x_1)}$

Og når man kender a, kan man beregne b efter formlen:

$b=frac{y_1}{{x_1^a}}=frac{y_2}{{x_2^a}}$

Beregn a og b i en potensfunktion

Indtast to punkter

Potensvækst

Man har et begreb, der hedder potens vækst, som gælder for potensfunktioner (og potensudvikling).

$f(k \times x)=k^a \times f(x)$

Hvis x ganges med tallet k, så bliver resultatet f(x) ganget med k^a

Hvis vi har formlen:

$f(x)=3 \times x^2$

og indsætter x=2, får vi:

$f(x)=3 \times 2^2=12$

Hvis vi ganger x med 3, får vi:

$f(x)=3 \times (2 \times 3)^2=108$

Hvis vi i stedet havde ganget resultatet med k^a= 3² = 9 havde vi også fået 108
$9 \times 12=108$

Undersøgelse af om man har en potensfunktion

Hvis man har en masse punkter, og man vil se, om det er en potensfunktion, så kan man indtegne dem på et dobbelt-logaritmisk papir.

Desto nærmere punkterne er på en ret linje, desto mere er funktionen en potensfunktion.