Formler, vektorer

Vektor
$\vec{v}={x \choose y}$
$\vec{a}=L \angle v = {L \times cos(v) \choose L \times sin(v)}$

Forlænge
$n \times \vec{v}={n \times x \choose n \times y}$

Længde
$|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}$

Enhedsvektor $\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

Summering
$\vec{r}={x_1 \choose y_1} + {x_2 \choose y_2}={x_1+x_2 \choose y_1+y_2}$

Prik/skalarprodukt
$\vec{a} \bullet \vec{b}={x_a \choose y_a} \bullet {x_b \choose y_b}=x_a \times x_b + y_a \times y_b$

$\vec{a} \bullet \vec{b}=|a| \times |b| \times cos(v)$

Tværvektor
$\hat{a}={-y \choose x}$

Determinanten / planprodukt
$det( \vec{a},\vec{b})=[\vec{a},\vec{b}]=\hat{a} \bullet \vec{b}=a_x \times b_y - a_y \times b_x$

$det( \vec{a},\vec{b})=- det(\vec{b},\vec{a})$

$det( \vec{a},\vec{b})=|a| \times |b| \times sin(v)$

Parallelle vektorer
$det( \vec{a},\vec{b})=0$

Vinkelrette vektorer $\vec{a} \bullet \vec{b}=0$

Vektorer i planen

En vektor er en retning og en længde. Almindelige tal kaldes skalarer, men da disse kun har en størrelse, er det ikke nok til at beskrive alle fænomener. Vektorer bruges tit inden for fysik til at beskrive kræfter eller acceleration.
En vektor har ikke noget fast begyndelsespunkt - det er kun en retning og en længde.

Vektor notation

Figur: Vektorer
Figur af vektorer i planen

Vektorer i planen, den ene med vinklen v og længden L, den anden som retvinklet trekant, med x og y

En vektor skrives normalt med en pil over sig. De to mest almindelige måder at skrive en vektor på er:

Vektor som retning og længde

$\vec{a}=L \angle v$
Vinklen er i forhold til x-aksen (på samme måde som i enhedscirklen).

Vektor som "retvinklet trekant"

En anden måde (og den mest almindelige) er at skrive en vektor som en "retvinklet trekant".
$\vec{v}={x \choose y}$
Her viser x, hvor langt man skal ud af x-aksen, og y hvor langt man skal ud af y-aksen.

Man kan omregne fra vinkel- og længdemåden til retvinklet trekant-måden ved at bruge følgende formel:
$\vec{a}=L \angle v = {L \times cos(v) \choose L \times sin(v)}$

Stort set alle formler for vektorer bruger "retvinklet trekant"-måden.

Vektor ud fra to punkter

En vektor kan også defineres ud fra to punkter:
$\vec{AB}={B_x - A_x \choose B_y-A_y}$

Længde af en vektor

En vektor skrevet på "retvinklet trekant"-måden har den ulempe, at man ikke kan aflæse længden direkte.
Her kommer Pythagoras os til hjælp, da a og b er de to kateter, og længden er hypotenusen.
$|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}$
Længden af en vektor skrives med to lodrette streger udenom navnet.

Stedvektor

En stedvektor er en vektor, som starter i (0,0)

Forlænge en vektor

En vektor kan forlænges (eller forkortes) ved at gange koordinaterne med det samme tal:
$n \times \vec{a}={n \times x \choose n \times y}$

Enhedsvektor

En enhedsvektor er en vektor, som har en længde på 1.
Man kan konvertere en vektor til en enhedsvektor ved at dividere koordinaterne med længden af vektoren:
$\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}={ a_x : |\vec{a}| \choose a_y : |\vec{a}|}$

Addition af vektorer

Figur: Addition af vektorer
Figur af addition af vektorer

Vektorer kan også lægges sammen grafisk. Her bliver den røde og den blå lagt sammen. $\vec{r}={6 \choose 6} + {1 \choose -4}={7 \choose 2}$

Man kan lægge vektorer sammen (eller trække dem fra hinanden). Det bruges meget indenfor fysik til at finde den samlede kraft. F.eks. en helikopter, hvor rotorbladene trækker den op, og tyngdekraften trækker den ned.
Resultatet af vektorerne lagt sammen kaldes typisk for $\vec{r}$
$\vec{r}={x_1 \choose y_1} + {x_2 \choose y_2}={x_1+x_2 \choose y_1+y_2}$
På samme måde kan vektorer trækkes fra hinanden.

Tværvektor eller hat-vektor

Tværvektoren er den vektor, som står vinkelret på vektoren drejet mod urets retning.
Et andet navn er hat-vektor, da den skrives med en lille "hat" ovenpå navnet:
$\hat{a}={-y \choose x}$

Skalarprodukt af to vektorer

Skalarproduktet er en måde at "gange" to vektorer sammen og få et tal. Man kan ikke gange to vektorer og få en ny - i stedet kan man finde et tal.
Skalarproduktet betegnes tit med en stor prik, for netop at illustrere, at det ikke er gange, men "noget andet":
$\vec{a} \bullet \vec{b}={a_x \choose a_y} \bullet {b_x \choose b_y}=a_x \times b_x + a_y \times b_y$
$\vec{a} \bullet \vec{b}=|a| \times |b| \times cos(v)$
Skalarproduktet kan blandt andet bruges til at finde vinklen imellem to vektorer. Derudover er det anvendt indenfor fysik.
De to vektorer er vinkelrette (orthogonale), hvis skalarproduktet er 0.

Determinanten af to vektorer

Determinanten ligner skalarproduktet, men har nogle andre egenskaber.
Determinanten skrives tit i skarpe parenteser eller som "det()":
$det( \vec{a},\vec{b})=[\vec{a},\vec{b}]=\hat{a} \bullet \vec{b}=a_x \times b_y - a_y \times b_x$

$det( \vec{a},\vec{b})=- det(\vec{b},\vec{a})$

$det( \vec{a},\vec{b})=|a| \times |b| \times sin(v)$

Determinanten kan også bruges til at finde vinklen imellem to vektorer.
Hvis determinanten er 0, er de to vektorer parallelle.

Find skalarproduktet og determintanten

Indtast de to vektorer:

Vektor a:	x:	y:
Vector b:	x:	y: