Enhedscirklen

Enhedscirklen
v er retningspunktet.
sin(v) er y koordinatet.
cos(v) er x koordinatet.
θ er buelængden i radianer.
Enhedscirklen er en særlig cirkel inden for geometrien.

Den har en radius på 1 og findes i koordinatsystemet med centrum i (0,0).

Enhedscirklen kan blandt andet bruges til at definere de trigonometriske funktioner grafisk.

(Det vil sige sinus, cosinus osv.)

Enhedscirklen er ikke specielt kompliceret, og hvis man forstår enhedscirklen, er det meget lettere at forstå beregninger med sinus og cosinus.

Vinkel

Retningspunktet til vinklen v i enhedscirklen er skæringen mellem radius og et punkt på cirklen.

Vinklen er den vinkel, som dannes imellem X-aksen (i positiv retning) og radius (mod uret).

(Det er nemmest at forstå ved at se på tegningen her på siden.)

Cosinus til vinklen v

Cosinus til vinklen v er X-koordinatet til retningspunktet til v.

Sinus til vinklen v

Sinus til vinklen v er Y-koordinatet til retningspunktet til v.

Tangens

Tangens er hældningen på den radius, som rammer i retningspunktet v.

Formlen for denne er:

tan(v)=frac{sin(v)}{cos(v)}

Denne kan også findes på enhedscirklen ved at tegne en lodret tangent til cirklen igennem (1,0) og forlænge linjen fra (0,0) og igennem v, så den skærer tangenten.

Dette punkt vil have koordinatetet (1, tan(v)).

Radianer

Radianer defineres som buelængden af cirkelstykket fra (1,0) til retningspunktet v.

Andre sammenhænge

x^2+y^2=1

cos^2(v)+sin^2(v)=1

cos(v)=cos(2*n*k+v)
(For alle heltal k.)

sin(v)=sin(2*n*k+v)
(For alle heltal k.)

Specielle vinkler i radianer og grader

Oversigt over specielle vinkler på enhedscirklen.
GraderRadianer(X,Y) koordinater

0^0

0

(1,0)

30^0

frac{pi}{6}

(frac{sqrt{3}}{2},frac{1}{2})

45^0

frac{pi}{4}

(frac{sqrt{2}}{2},frac{sqrt{2}}{2})

60^0

frac{pi}{3}

(frac{1}{2},frac{sqrt{3}}{2})

90^0

frac{pi}{2}

(0,1)

120^0

frac{2*pi}{3}

(frac{-1}{2},frac{sqrt{3}}{2})

135^0

frac{3*pi}{4}

(frac{-sqrt{2}}{2},frac{sqrt{2}}{2})

150^0

frac{5*pi}{6}

(frac{-sqrt{3}}{2},frac{1}{2})

180^0

pi

(-1,0)

210^0

frac{7*pi}{6}

(frac{-sqrt{3}}{2},frac{-1}{2})

225^0

frac{5*pi}{4}

(frac{-sqrt{2}}{2},frac{-sqrt{2}}{2})

240^0

frac{4*pi}{3}

(frac{-1}{2},frac{-sqrt{3}}{2})

270^0

frac{3*pi}{2}

(0,-1)

300^0

frac{5*pi}{3}

(frac{1}{2},frac{-sqrt{3}}{2})

315^0

frac{7*pi}{4}

(frac{sqrt{2}}{2},frac{-sqrt{2}}{2})

330^0

frac{11*pi}{6}

(frac{sqrt{3}}{2},frac{-1}{2})

Formler - enhedscirklen

X-koordinat

x=cos(v)


Y-koordinat

y=sin(v)


Tangens

tan(v)=frac{sin(v)}{cos(v)}


Omkreds

O=2*pi


Areal

A=pi


Enhedscirklens formel

x^2+y^2=1