Formler, parabel

Ligning
$y=a \times x^2 + b \times x + c$

Diskriminanten
$D=b^2-4 \times a \times c$

Rødder
$x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \times a}$

Toppunkt
$x=\frac{-b}{2 \times a}$
$y=\frac{-D}{4 \times a}$

Brændpunkt
$x=\frac{-b}{2 \times a}$
$y=c- \frac{b^2 - 1}{4 \times a}$

Ledelinje
$y=c-\frac{b^2+1}{4 \times a}$

Parabel

Denne side beskriver kun parabler med symmetri-akse parallelt med 2.aksen (også kaldet y-aksen).

Generelt om parabel

En parabel er en grafisk afbildning af et andengradspolynomium i koordinatsystemet.
En parabel kan også beskrives som et brændpunkt F, og en ledelinje L, hvor parablen er de punkter, som har lige stor afstand imellem ledelinjen og brændpunktet.

Parablens ligning

En parabel kan skrives på formlen:
$y=a \times x^2 + b \times x + c$

Parablens ABC

Tallene a,b og c har betydning for parablens udseende.

a:

Jo længere væk a er fra 0, desto mere stejle er parablens ben.
a < 0: Parablens ben vender nedad.
a > 0: Parablens ben vender opad.
a = 0: Det er ikke en parabel, men derimod en linje.

b:

b=0: Toppunktet ligger på y-aksen i (0,c)
b forskellig fra 0: Toppunktet ligger ikke på y-aksen.

c:

Viser parablens skæring med y-aksen. (da x er 0)

Formel for en parabel, hvis man kender rødderne og a

Man kan finde formlen for en parabel, hvis man kender rødderne og a ud fra følgende formel:
$y=a \times (x - x_1) \times (x-x_2)$

Beregn parablens ligning ud fra to rødder og a

Indtast x₁, x₂ og a:

Parablens toppunkt

Parablens toppunkt er det højeste eller laveste punkt på parablen. Parablens toppunkt kan beregnes med formlen:
$x=\frac{-b}{2 \cdot a}$
y findes ved at indsætte x i parablens ligning, eller hvis man har udregnet diskriminintanten D, med formlen:
$D=b^2-4 \cdot a \cdot c$
$y=\frac{-D}{4 \cdot a}$

Beregn parablens toppunkt

Indtast a, b og c fra formlen $y=a \times x^2 + b \times x +c$ :

Tegning af en parabel

For at tegne en parabel i koordinatsystemet skal man udregne nogle reference-punkter.
Parablens toppunkt og skæring(erne) med x-aksen er altid gode steder at starte.
Derudover får man punktet (0,c) foræret gratis, da dette kan aflæses direkte.

De andre punkter bør vælges passende, så man kan se parablens form ordentligt. En god hovedregel er, at man skal udregne mindst 7 punkter.
Punkterne skrives i et sildeben, og parablen tegnes med frihånd som en kurve igennem punkterne.

Tegn en parabel

Indtast a, b og c fra formlen $y=a \times x^2 + b \times x +c$ :

Parabel igennem 3 kendte punkter

Man kan finde formlen for en parabel, hvis man har 3 kendte punkter på parablen.
Dette kan gøres på to måder. Enten ved at løse 3 ligninger med 3 ubekendte,
hvor man indsætter x og y i ligningen:
$y=a \cdot x^2+ b \cdot x+c$

Hermed får man tre ligninger, hvor:
$y_1=a \cdot x_1^2+ b \cdot x_1+c$
$y_2=a \cdot x_2^2+ b \cdot x_2+c$
$y_3=a \cdot x_3^2+ b \cdot x_3+c$

eller man kan bruge formlen:
$y=\frac{(x-x_2) \cdot (x-x_3)}{ (x_1-x_2) \cdot (x_1-x_3) } \cdot y1 + \frac{(x-x_1) \cdot (x-x_3)}{ (x_2-x_1) \cdot (x_2-x_3) } \cdot y_2 + \frac{(x-x_1) \cdot (x-x_2)}{ (x_3-x_1) \cdot (x_3-x_2) } \cdot y_3$

Parablens brændpunkt

Parablens brændpunkt kan beregnes med formlerne:
$x=\frac{-b}{2 \cdot a}$
$y=c - \frac{b^2-1}{4 \cdot a}$

Parablens ledelinje

Parablens ledelinje kan beregnes med formlen:
$y=c - \frac{b^2 +1}{4 \cdot a}$

x₁:
x₂:
a: