Formler, trekant

Vinkelsum
180^0=A+B+C

Areal
$A=\frac{1}{2} \times h \times g$

Areal med sidelængder
$s=\frac{a+b+c}{2}$
$A=\sqrt{s \times (s-a)\times(s-b)\times(s-c)}$

Sinus relation
$\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{sin(B)}=\frac{c}{sin(C)}=2 \times R$

Cosinus relation
$cos(A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 \times b \times c}$
$cos(B)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 \times a \times c}$
$cos(C)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 \times a \times b}$

Cosinus relation, omskrevet
$a^2=b^2+c^2-2 \times b \times c \times cos(A)$
$b^2=a^2+c^2-2 \times a \times c \times cos(B)$
$c^2=a^2+b^2-2 \times a \times b \times cos(C)$

Trekant

Trekant har fået to undersider: Retvinklede trekanter samt trekant konstruktion, hvor man kan lære at konstruere trekanter med passer, vinkelmåler og lineal.

Generelt om trekanter

En trekant er en figur med 3 vinkler og 3 sider. Sider og vinkler kaldes for trekantens stykker.
Ifølge de trigonometriske regneregler kan man udregne de manglende oplysninger, hvis man har en sidelængde og mindst to andre oplysninger.

Trekanter kan inddeles i kategorier efter deres vinkler:

Ligebenet trekant

En trekant siges at være ligebenet, hvis to sider er lige lange, og to vinkler er lige store.

De to sider, som er lige lange, kaldes trekantens ben. Den sidste er grundlinjen.

Grundvinklerne er de to vinkler, som er lige store. Den sidste vinkel kaldes for topvinklen.

Højden på grundlinjen deler topvinklen i to lige store dele.
Da den også deler grundlinjen i to lige store dele, er højden både vinkelhalveringslinje og midtnormal.

Figur af vilkårlig trekant

Vilkårlig trekant

En trekant kaldes også for en vilkårlig trekant, når det drejer sig om formler og observationer, som gælder for alle trekanter.
(I modsætning til Pythagoras, som kun gælder for retvinklede trekanter.)

Andre kategorier

Spidsvinklet trekant	Stumpvinklet trekant	Retvinklet trekant

I en spidsvinklet trekant er alle tre vinkler mindre end 90 grader.	I en stumpvinklet trekant er den ene vinkel større end 90 grader.	I en retvinklet trekant er den ene vinkel præcis 90 grader. Læs om retvinklede trekanter.

Retvinklet trekant

Se siden om retvinklede trekanter

Vinklerne

Vinkelsummen i en trekant er altid 180⁰. Hvis man mangler en vinkel, kan man benytte den simple formel:
180=A+B+C

Højden af en trekant

Figur: Trekant med alle højderne

Trekant med de 3 højder indtegnet.
To af højderne er udenfor trekanten.

Højden af en trekant går vinkelret fra bundlinjen og til spidsen af trekanten (vinklen overfor grundlinjen).
En trekant har altid 3 forskellige højder alt efter hvilken af de 3 sider, at man vælger som grundlinje.
Højden på en trekant kan sagtens ligge udenfor trekanten.

Areal af en trekant

Man kan finde arealet af en trekant, hvis man kender længden på en side (kaldet grundlinjen) og højden (den vinkelrette linje imellem grundlinjen og den modstående vinkel).
Formlen for arealet er:
$A=\frac{1}{2} \times h \times g$
Hvor A=areal, h=højden og g=grundlinjen.

Beregn arealet af en trekant

Indtast højde og grundlinje:

Areal af trekant, hvis man ikke kender højden

Hvis man ikke kender højden, men kun sidelængderne, kan arealet stadigvæk beregnes. Det bliver dog lidt mere kompliceret:
$s=\frac{a+b+c}{2}$
$A=\sqrt{s \times (s-a)\times(s-b)\times(s-c)}$
eller man kan benytte Qin Jiushaos formel:
$A=\frac{1}{2}\sqrt{ a^2 \times c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2 }$

Trigonometri

For en vilkårlig trekant med tre vinkler og tre sidelængder kan man finde de resterende oplysninger, hvis man har 3 oplysninger, og det ikke kun er vinkler.

De oplysninger, som man kan have, er:
Vinklerne A,B,C og siderne a,b,c (som er overfor vinklerne A,B,C)

Hvis en vinkel mangler

Udnyt at vinkelsummen er 180⁰.
180=A+B+C

Sinus relation

$\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{sin(B)}=\frac{c}{sin(C)}=2 \times R$

R er radius i trekantens omskrevne cirkel.
Dvs. den cirkel hvor alle trekantens hjørner rammer periferien (kanten af cirklen).
Hvis man bruger sinus relationer til at finde en vinkel, så kan der være to løsninger, hvis vinklen er under 90 grader. Den anden løsning vil da være 180-v
Man bør kun bruge sinus relationer til at finde vinkler, hvis det er sidste udvej.

Cosinus relation

$cos(A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 \times b \times c}$
$cos(B)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 \times a \times c}$
$cos(C)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 \times a \times b}$
De tre formler kan omskrives, så vi i stedet kan finde sidelængderne:
$a^2=b^2+c^2-2 \times b \times c \times cos(A)$
$b^2=a^2+c^2-2 \times a \times c \times cos(B)$
$c^2=a^2+b^2-2 \times a \times b \times cos(C)$

Trigonometri regnemaskine

Indtast 3 oplysninger, hvoraf den ene er en sidelængde:

h:		Højde
g:		Grundlinje

a:		Side a
b:		Side b
c:		Side c
A:		Vinkel A
B:		Vinkel B
C:		Vinkel C