Formler, retvinklet trekant

Areal
$Areal=\frac{1}{2}\times h \times g=\frac{1}{2} \times a \times b$

Omkreds
Omkreds=a+b+c

Vinkelsum
A+B+C=180^0

Pythagoras
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
$a=\sqrt{c^2-b^2}$
$b=\sqrt{c^2-a^2}$

Vinkler
$A=sin^{-1} \left(\frac{a}{c} \right)=cos^{-1} \left(\frac{b}{c}\right)=tan^{-1} \left(\frac{a}{b}\right)$
$B=sin^{-1} \left(\frac{b}{c} \right)=cos^{-1} \left(\frac{a}{c}\right)=tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)$
A=90^0-B

Sider
$a=c \times sin(A) = b \times tan(A)$
$b=\frac{a}{tan(A)} = c \times cos(A)$
$c=\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{cos(A)}$

Retvinklet trekant

En retvinklet trekant, er en trekant, hvor den ene vinkel er 90° (i 360 graders systemet).

Navngivning af vinkler og sider

Figur: Retvinklet trekant
Figur af retvinklet trekant

Den lange side af en retvinklet trekant kaldes hypotenusen.
De to andre sider kaldes kateter.

Man navngiver normalt retvinklede trekanter i en figur ved at den rette vinkel kaldes C (stort C). Siden overfor C kaldes c (lille c).
Hvis man går med uret, hedder næste vinkel A, og mod uret hedder vinklen B.
Siden overfor A, hedder a. Siden overfor B, hedder b.

Da siden a er overfor A (eller modstående), kaldes denne for A's modstående katete.
Siden b kaldes for A's hosliggende katete.
(Det kan huskes ved, at det er den katete, som ikke er modstående.)

Areal og omkreds

Omkredsen af en retvinklet trekant er summen af de tre sider lagt sammen:
Omkreds=a+b+c

Arealet kan beregnes med formlen for arealer af vilkårlige trekanter:
$Areal=\frac{1}{2}\times h \times g$
Da trekanten er retvinklet, kan vi bruge a som højden og b som grundlinjen:
$Areal=\frac{1}{2}\times a \times b$

Beregn areal og omkreds af en retvinklet trekant

Indtast sidelængderne:

Pythagoras

Den pythagoræiske læresætning er: "I alle retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrat lig hypotenusens kvadrat".
Oversat betyder det, at længden af de korte sider ganget med sig selv og derefter lagt sammen, er lig længden af den længste side ganget sig selv.
I en retvinklet trekant med siderne a,b,c (hvor c er hypotenusen - den længste) får den pythagoræiske læresætning følgende formel:
a^2+b^2=c^2

Dette kan bruges til at udregne længden af en manglende side ved at omskrive formlen til tre hjælpeformler:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$ , $a=\sqrt{c^2-b^2}$ , $b=\sqrt{c^2-a^2}$

Formlen a^2+b^2=c^2

gælder KUN for retvinklede trekanter, og kan derfor bruges til at kontrollere, om en trekant er retvinklet.

Pythagoras regnemaskine

Indtast mindst to af sidelængderne:

Vinkler og sider

Man kan finde de manglende sider og vinkler i en retvinklet trekant ved nogle ret simple formler med sinus, cosinus og tangens:
(Enkelte har gjort os opmærksomme på, at vi ikke viser, hvordan man beregner C. Da det er en retvinklet trekant, er C 90 grader.)

Sinus

Sinus til en vinkel er lig med den modstående katete, divideret med hypotenusen, dvs.:
$sin(A)=\frac{a}{c}$ , $A=sin^{-1}\left( \frac{a}{c} \right)$
$sin(B)=\frac{b}{c}$ , $B=sin^{-1}\left( \frac{b}{c} \right)$

Cosinus

Cosinus til en vinkel er lig med den hosliggende katete, divideret med hypotenusen, dvs.:
$cos(A)=\frac{b}{c}$ , $A=cos^{-1}\left( \frac{b}{c} \right)$
$cos(B)=\frac{a}{c}$ , $B=cos^{-1}\left( \frac{a}{c} \right)$

Tangens

Tangens til en vinkel er lig med den modstående katete, divideret med den hosliggende katete, dvs.:
$tan(A)=\frac{a}{b}$ , $A=tan^{-1} \left(\frac{a}{b}\right)$
$tan(B)=\frac{b}{a}$ , $B=tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)$
Der er flere omskrivninger af formlerne med sinus, cosinus og tangens i formeloversigten øverst til højre.

a:		Højde
b:		Grundlinje
c:

a:		Katete (en af de korte side)
b:		Katete (den anden af de korte sider)
c:		Hypotenusen (den længste side)